r/explainlikeimfive
- u/FHM_IV (18.6k points)
Bằng cách nào mà chúng ta có thể xác định được một số, ví dụ như số Pi, là một số hữu hạn hay vô hạn?
Link: ELI5: How do we know some numbers, like Pi are endless, instead of just a very long number? : explainlikeimfive
- u/tatu_huma
Số Pi là một số vô tỉ. Điều này có nghĩa là số Pi không thể được viết dưới dạng tỉ số của 2 số nguyên. Có nhiều chứng minh cho việc số Pi là một số vô tỉ, nhưng nó khá là phức tạp, và không phù hợp với ELI5. Có một trang wiki nói về điều này:
(https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_%CF%80_is_irrational?fbclid=IwAR0OnMwrbk4aZEQhlcZ-MgKVEqVMu_L97PFzUOzXhxA_AWRz-Gfc0e_UXSM)
TẤT CẢ các số vô tỉ (không chỉ riêng số Pi) đều có tính chất là có phần thập phân vô hạn và không tuần hoàn. Chứng minh cho điều này thì đơn giản hơn, tôi sẽ giải thích qua 1 ví dụ chung cho chúng.
*Chứng minh số vô tỉ có phần thập phân vô hạn và KHÔNG tuần hoàn cũng tương tự như chứng minh số thập phân CÓ phần thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn thì không phải số vô tỉ*
Giả sử một số thập phân có phần thập phân hữu hạn:
Ta có: x = 14.4254.
Khi chúng ta nhân x với 104 = 10000 để triệt tiêu phần thập phân., ta sẽ có kết quả là 144245. Để thu được giá trị ban đầu, ta chỉ cần chia kết quả đó cho 104 hay 144245/10000. Vì cả tử lẫn mẫu đều là số nguyên nên giá trị x ban đầu là một số hữu tỉ.
Ta có thể khái quát ví dụ này rằng số thập phân có phần thập phân hữu hạn sẽ trở thành số hữu tỉ bằng cách nhân và chia cho 10 với số mũ thích hợp để khử đi phần thập phân.
Giả sử một số thập phân có phần thập phân vô hạn tuần hoàn:
Ta có: x = 14.5124874874874… (số 874 lặp lại)
Ta thực hiện :
104*x = 145124.874874…. (lúc này phần thập phân chỉ còn dãy số lặp lại theo chu kì)
và
107 *x = 145124874.874874… (lúc này có 1 nhóm số lặp lại nằm ở phía trước phần thập phân)
Sau đó, ta thực hiện phép trừ:
107 *x – 104*x = 145124874.874874… – 145124.874874…
⇔ x*(107 – 104) = 145124874.874874… – 145124.874874…
⇔ x = (145124874.874874… – 145124.874874…) / (107 – 104)
Vì tử số là một số nguyên (phần thập phân của 2 giá trị giống nhau nên bị triệt tiêu)
và mẫu số cũng là một số nguyên.
Nên ta có thể kết luận rằng: x là một số hữu tỉ.
Ta có thể khái quát rằng bất kì số thập phân nào có phần thập phân vô hạn tuần hoàn thì đều là số hữu tỉ bằng cách nhân nó với 10 với số mũ thích hợp.
- >u/leoleosuper
Thêm nữa, mọi số có phần thập phân vô hạn tuần hoàn đều có thể được biểu diễn dưới dạng:
(phần lặp lại tuần hoàn)/(số chữ số 9 bằng với số phần tử trong chu kì lặp lại và số chữ số 0 bằng với khoảng cách của nó tới dấu phẩy)
Vậy cho nên 14,512487487487 = 14512/1000 + .487 / 999, hoặc 487/999000.
Bằng cách này, ta cũng có thể chứng minh được 0.999… = 1.
- >>u/acog
“Bằng cách này, ta cũng có thể chứng minh được 0.999… = 1.”
Tôi đã đắn đo rất lâu để thừa nhận điều này đúng.
Cho những ai mà chưa biết thì
.9999… (chữ số 9 lặp lại vô hạn lần) không những được làm tròn thành 1.
MÀ NÓ CHÍNH XÁC BẰNG 1.
Hai số đó không chỉ gần bằng nhau mà chúng chính xác là một số, chỉ là hai cách viết khác nhau mà thôi.
Có rất nhiều trang wiki chứng minh cho điều này nhưng lời giải thích mà tôi cảm thấy đúng nhất đó chính là:
.3333… (chữ số 3 lặp lại vô hạn lần) bằng 1/3 và chúng ta đều biết 3/3 là 1
Suy ra 3 lần .33333….= .99999… Do đó, nó chính xác bằng 1.
- >>>u/Wildzontar
Tôi biết một điều là:
Nếu chúng ta có 2 số A và B không bằng nhau thì hiệu của chúng sẽ là một số C khác 0.
Tuy nhiên, ta lại có 1-0.9999..= 0.00000…..
nói cách khác, không có chữ số nào của C trong phép tính trên là khác 0 cả.
Vì vậy, 1 và 0.999… bằng nhau.
Điều này hoàn toàn tương tự đối với các trường hợp như 1.5 và 1.499999…
