Nội dung bài viết
Bài tập 1:
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh (2asqrt{2}) và (AA’=asqrt{3}). Hình chiếu vuông góc của điểm A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ABB’A’.
Lời giải:
- Tính ({V_{ABC.A’B’C’}}) .
Ta có (A’G bot left( {ABC} right) Rightarrow A’G) là chiều cao của lăng trụ ABC.A’B’C’.
Diện tích tam giác đều ABC là: ({S_{ABC}} = A{B^2}.frac{{sqrt 3 }}{4} = 2{a^2}sqrt 3).
Gọi M là trung điểm của BC, ta có: (AM = BC.frac{{sqrt 3 }}{2} = 2asqrt 2 .frac{{sqrt 3 }}{2} = asqrt 6).
(AG = frac{2}{3}AM = frac{{2asqrt 6 }}{3}).
Trong (Delta A’GA) vuông tại G, ta có (A’G = sqrt {A'{A^2} – A{G^2}} = sqrt {3{a^2} – frac{8}{3}{a^2}} = frac{{asqrt 3 }}{3}).
Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:
({V_{ABC.A’B’C’}} = {S_{ABC}}.A’G = 2{a^3})
- Tính (dleft( {C,left( {ABB’A’} right)} right))
Gọi N là trung điểm của AB.
Trong (Delta A’GN), kẻ (GH bot A’N).
Chứng minh được (GH bot left( {ABB’A’} right)) tại H.
Suy ra (dleft( {G,left( {ABB’A’} right)} right) = GH).
Ta có (CN = AM = asqrt 6), (GN = frac{1}{3}CN = frac{{asqrt 6 }}{3}) .
(frac{1}{{G{H^2}}} = frac{1}{{A'{G^2}}} + frac{1}{{G{N^2}}} = frac{3}{{{a^2}}} + frac{9}{{6{a^2}}} = frac{9}{{2{a^2}}}) (Rightarrow GH = frac{{asqrt 2 }}{3}).
Do đó (dleft( {G,left( {ABB’A’} right)} right) = GH = frac{{asqrt 2 }}{3}).
Vậy (dleft( {C,left( {ABB’A’} right)} right) = 3dleft( {G,left( {ABB’A’} right)} right) = asqrt 2).
Bài tập 2:
Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC vuông tại B, (AB = a , widehat{ ACB} = 60^0, SAperp (ABC)). Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC), biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng (frac{a}{2}).
Lời giải:
- Tính thể tích khối chóp S.ABC:
(begin{array}{l} left{ begin{array}{l} SA bot (ABC) Rightarrow BC bot SA\ BC bot AB end{array} right. Rightarrow BC bot (SAB)\ Rightarrow (SBC) bot (SAB). end{array})
Kẻ AH vuông góc SB ((H in SB)) suy ra: (AH bot (SBC) Rightarrow AH = frac{a}{2}.) (BC = frac{{AB}}{{tan {{60}^0}}} = frac{{asqrt 3 }}{3}.)
(frac{1}{{A{H^2}}} = frac{1}{{A{B^2}}} + frac{1}{{S{A^2}}} Rightarrow SA = frac{{asqrt 3 }}{3}.)
Diện tích tam giác ABC là: (S_{Delta ABC}=frac{a^2sqrt{3}}{6}).
Vậy thể tích khối chóp là: (V_{S.ABC}=frac{a^3}{18}.)
- Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC)
Kẻ (BI bot AC;,,IK bot SC.)
Ta có: (left{ begin{array}{l} BI bot AC\ BI bot SA end{array} right. Rightarrow BI bot (SAC) Rightarrow SC bot BI) (1)
Mặt khác: (IK bot SC) (2)
(SC bot (BIK) Rightarrow BK bot SC.) Suy ra góc giữa 2 mặt phẳng là (widehat{IKB}). Xét các tam giác vuông ABC và SBC ta tính được độ dài các đường cao:(BI=frac{a}{2};BK=frac{2asqrt{15}}{15}). Xét tam giác BIK vuông tại I ta có: (IK=frac{asqrt{15}}{30};coswidehat{IKB}=frac{1}{4}).
Bài tập 3:
Cho hình chóp S.ABCD có thể tích bằng 48 và ABCD là hình thoi. Các điểm M, N, P, Q lần lượt là các điểm trên các đoạn SA, SB, SC, SD thỏa mãn: (SA = 2SM,SB = 3SN;) (SC = 4SP;SD = 5SQ.) Tính thể tích V của khối chóp S.MNPQ.
Lời giải:
Ta có: ({V_{SMNPQ}} = {V_{SMQP}} + {V_{SMNP}})
Và: ({V_{SADC}} = {V_{SQBC}} = frac{1}{2}{V_{S.ABCD}})
Mặt khác:
(begin{array}{l} frac{{{V_{S.MQP}}}}{{{V_{S.ADC}}}} = frac{{SQ}}{{SD}}.frac{{SM}}{{SA}}.frac{{SP}}{{SC}} = frac{1}{5}.frac{1}{2}.frac{1}{4} = frac{1}{{40}}\ Rightarrow {V_{S.MQP}} = frac{1}{{40}}.{V_{S.ADC}} = frac{1}{{80}}.{V_{S.ABCD}} end{array})
(begin{array}{l} frac{{{V_{S.MNP}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = frac{{SM}}{{SA}}.frac{{SP}}{{SC}}.frac{{SN}}{{SP}} = frac{1}{2}.frac{1}{4}.frac{1}{3} = frac{1}{{24}}\ Rightarrow {V_{S.MNP}} = frac{1}{{24}}{V_{S.ABC}} = frac{1}{{48}}.{V_{S.ABCD}} end{array})
(Rightarrow {V_{SMNPQ}} = left( {frac{1}{{80}} + frac{1}{{48}}} right){V_{S.ABCD}} = frac{8}{5})
