Lý thuyết về xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

Trong chương trình lớp 10, các bạn học sinh đã được học các kiến thức cơ bản về xét tính chẵn lẻ của hàm số. Dựa vào phần kiến thức này, trong giải tích lớp 11, dạng toán xét tính chẵn lẻ được mở rộng hơn với phần hàm số lượng giác với sin, cos, tan và cot. Vậy xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác là gì? Hãy cùng Cmath tổng lớp các lý thuyết và bài tập chi tiết về chuyên đề này nhé.

Lý thuyết chung về tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

Để có thể vận dụng kiến thức thật tốt vào các dạng bài tập khác nhau, Cmath sẽ cùng các bạn học sinh tìm hiểu các lý thuyết chung, để học sinh có thể nắm thật rõ về dạng toán xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác.

Định nghĩa về tính tuần hoàn và chu kì của hàm số lượng giác

Định nghĩa:

Hàm số f(x) có tập xác định sẽ được gọi là hàm số tuần hoàn, nếu tồn tại một số T 0, sao cho mọi x D, thỏa mãn điều kiện:

• x + T D

x – T D

• f ( x + T ) = f (x)

Nếu số dương T nhỏ nhất đáp ứng thỏa mãn các tính chất trên, đó được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn.

Do đó, người ta dễ dàng chứng minh được:

• y = sinx tuần hoàn với chu kỳ T = 2
• y = cosx tuần hoàn với chu kỳ T = 2
• y = tanx tuần hoàn với chu kỳ T =
• y = cotx tuần hoàn với chu kỳ T =

Một số lưu ý:

• Hàm số y = sin( ax + b ) tuần hoàn với chu kỳ T = 2| a |
• Hàm số y = cos( ax + b ) tuần hoàn với chu kỳ T = 2| a |
• Hàm số y = tan( ax + b ) tuần hoàn với chu kỳ T = | a |
• Hàm số y = cot( ax + b ) tuần hoàn với chu kỳ T = | a |

Trường hợp đặc biệt:

• Hàm số y = asinmx + bcosnx + c ( với m, n Z ) là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T = 2( m, n ) , trong đó ( m, n) là ước chung lớn nhất
• Hàm số y = atanmx + bcotnx + c ( với m, n Z ) là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T = ( m, n ) , trong đó ( m, n) là ước chung lớn nhất

Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

Cho hàm số y = f ( x ) được xác định trên tập D:

• Hàm số y = f ( x ) được gọi là hàm số chẵn nếu mọi x D. Khi đó, ta có:

– x D và f( – x) = f (x)

Đồ thị hàm số chẵn sẽ nhận trục tung Oy làm trục đối xứng

• Hàm số y = f ( x ) được gọi là hàm số lẻ nếu mọi x D. Khi đó, ta có:

– x D và f( – x) = f (x)

Đồ thị hàm số lẻ sẽ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

• Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số không chẵn không lẻ khi

x0 D thỏa mãn điều kiện f ( – x0 ) f( x0 )

f ( – x0 ) – f( x0 )

hoặc chứng minh: tập xác định của f( x) không phải tập đối xứng của hàm số.

Phương pháp chung xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số. Khi đó, tao có:

• Nếu D không là tập đối xứng, nghĩa là x D nhưng – x D. Ta kết luận được hàm số f(x) là hàm không chẵn không lẻ
• Nếu D là tập đối xứng, nghĩa là mọi x D thì – x D. Ta tiếp tục thực hiện bước 2.

Bước 2: Xác định hàm số f ( -x):

• Nếu f ( x ) = f ( – x), với mọi x D thì hàm số f ( x ) là hàm số chẵn
• Nếu – f ( x ) = f ( – x), với mọi x D thì hàm số f ( x ) là hàm số lẻ

Nếu hàm số f (x) không thỏa mãn một trong hai điều kiện trên thì đó làm hàm không chẵn không lẻ.

Xét tính chẵn lẻ của một số hàm lượng giác cơ bản

• Hàm số y = sinx là hàm số lẻ với D = R
• Hàm số y = cosx là hàm số lẻ với D = R
• Hàm số y = tanx là hàm số lẻ với D = R { 2 + k | k Z }
• Hàm số y = cotx là hàm số lẻ với D = R { k | k Z }

Các ví dụ và cách giải về xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

Ví dụ: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số lượng giác sau đây:

1. y = f(x) = 2x + sinx

Tập xác định: D = R

Ta có:

Điều kiện 1: Vì D = R nên x D thì – x D ( 1)

Điều kiện 2:

f ( – x ) = 2( – x ) + sin( – x ) = – 2x – sinx = – ( 2x + sinx ) = – f (x) (2)

Từ (1) và (2) => hàm số y = f(x) = 2x + sinx là hàm số lẻ

1. y = f(x) = |x|cosx

Tập xác định: D = R

Ta có:

Điều kiện 1: Vì D = R nên x D thì – x D ( 1)

Điều kiện 2:

f ( – x) = | – x|. cos( -x ) = |x|. cosx = f(x) (2)

Từ (1) và (2) => hàm số y = f(x) = |x|cosx là hàm số chẵn

1. y = f(x) = |x|sinx

Tập xác định: D = R

Ta có:

Điều kiện 1: Vì D = R nên x D thì – x D ( 1)

Điều kiện 2:

f ( – x) = | – x|. sin( -x ) = |x|. – sinx = – f(x) (2)

Từ (1) và (2) => hàm số y = f(x) = |x|sinx là hàm số lẻ

1. y = f(x) = sin22x + cos3x

Tập xác định: D = R

Ta có:

Điều kiện 1: Vì D = R nên x D thì – x D ( 1)

Điều kiện 2:

f ( – x) = sin2( – 2x) + cos( – 3x) = sin -2x 2 + cos3x = 2x 2 + cos3x = sin22x + cos3x = f(x) (2)

Từ (1) và (2) => hàm số y = f(x) = sin22x + cos3x là hàm số chẵn

1. y = f(x) = cosx + sinx

Tập xác định: D = R

Ta có:

Điều kiện 1: Vì D = R nên x D thì – x D Điều kiện 2:

f ( – x) = cos ( -x) + sin ( -x ) = cosx – sinx

– f(x) = – ( cosx + sinx ) = – cosx – sinx

Ta thấy: f(x) f(-x) và f(x) -f(x)

Vậy hàm số y = f(x) = cosx + sinx là hàm không chẵn không lẻ.

1. y = f(x) = sin2020x+2019cosx

Ta có: cosx 0 => x 2 + k, với k Z

Vậy, tập xác định D = R { 2 + k, với k Z }

Điều kiện 1: Vì D = R nên x D thì – x D ( 1)

Điều kiện 2:

f ( -x) = sin2020 -x+2019cos⁡( -x) = sin2020x+2019cosx = f(x) (2)

Từ (1) và (2) => hàm số y = f(x) = sin2020x+2019cosx là hàm số chẵn

Bài tập vận dụng xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

Dưới đây là một số bài tập vận dụng về xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác:

1. Cho hàm số f(x) = cot2x và g(x) = cos5x chọn mệnh đề đúng:
2. f(x) là hàm số chẵn, g(x) là hàm số chẵn
3. f(x) là hàm số lẻ, g(x) là hàm số lẻ
4. f(x) là hàm số lẻ, g(x) là hàm số chẵn
5. f(x) là hàm số chẵn, g(x) là hàm số lẻ
6. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?
7. y = sinx
8. y = cos2x
9. y = cotx
10. y = tan3x
11. Cho hàm số y= sinxcos2x-3. Khẳng định nào sau đây là đúng
12. Hàm số là hàm số lẻ
13. Hàm số là hàm số chẵn
14. Hàm số không chẵn không lẻ
15. Hàm số có tập xác định D = R{3}
16. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?
17. y = sin2x + cosx
18. y = sinx – sin2x
19. y = cot2x. cosx
20. y = sinx. cos2x
21. Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung?
22. sinx.cos3x
23. cotxcos3x+ 4
24. cosx + sin2x
25. sin3x. cos⁡( 2x- 2 )
26. Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ?
27. sin3x+1cosx
28. sinx+xcos2x +2
29. tan22x
30. |cot4x|
31. Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ?
32. y= sin ( x + 4 )
33. sin3x
34. y=3cos( 2x− 3 )
35. y=3sin( 2x− 2 )
36. Xét hai mệnh đề:

(I) Hàm số y= f(x) = tanx + cotx là hàm số lẻ

(II) Hàm số y= f(x)= tanx − cotx là hàm số lẻ

Trong các câu trên, câu nào đúng?

A . Chỉ (I) đúng

B . Chỉ (II) đúng

1. C. Cả hai đúng
2. D. Cả hai sai
3. Xét hai mệnh đề:

(I) Hàm số y = f(x) = tanx + cosx là hàm số lẻ

(II) Hàm số y = f(x) = tanx + sinx là hàm số lẻ

Trong các câu trên, câu nào đúng?

1. A. Chỉ (I) đúng .
2. B. Chỉ (II) đúng .
3. C. Cả hai đúng.
4. D. Cả hai sai.
5. Cho hàm số y = cosx xét trên [ – 2; 2 ]. Khẳng định nào sau đây là đúng?
6. A. Hàm không chẵn không lẻ
7. B. Hàm lẻ
8. C. Hàm chẵn
9. D. Có đồ thị đối xứng qua trục hoành

Đáp án bài tập:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

C

B

A

A

D

B

B

C

D

C

Kết luận

Trên đây là những tổng hợp lý thuyết cơ bản và các bài tập vận dụng về xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác. Hy vọng qua bài viết này, Cmath sẽ giúp các bạn ôn lại các kiến thức để bạn có thể tự tin làm bài và áp dụng nó thật nhuần nhuyễn trong các dạng bài khác nhau và là hành trang đầy đủ khi bước vào kỳ thi quan trọng.

>>> Tham khảo thêm:

Đồ thị hàm số bậc 3 – Kiến thức cực kỳ quan trọng trong Toán học

Hàm số bậc 2 là gì? Các bài toán liên quan đến hàm số bậc 2

Hàm số lũy thừa – Bài tập vận dụng về hàm số lũy thừa

THÔNG TIN LIÊN HỆ

• CMath Education – Câu lạc bộ toán học muôn màu

• Nhà liền kề NTT06 – 82 Nguyễn Tuân – Thanh Xuân (Sau khu chung cư Thống Nhất Complex)
• Hotline: 0973872184 – 0834570092
• Email: clbcmath@gmail.com
• FB: fb.com/clbtoanhocmuonmau
• Website: cmath.vn