Contents
Định nghĩa hàm mật độ xác suất
Hàm mật độ xác suất (PDF) là hàm xác suất được biểu thị cho mật độ của một biến ngẫu nhiên liên tục nằm giữa một phạm vi giá trị nhất định. Nó còn được gọi là hàm phân phối xác suất hay chỉ là hàm xác suất. Tuy nhiên, trong nhiều nguồn khác, hàm này được phát biểu là hàm trên một tập hợp giá trị chung hoặc đôi khi nó được gọi là hàm phân phối tích lũy hoặc đôi khi là hàm khối lượng xác suất (PMF). Nhưng sự thật thực tế là PDF được xác định cho các biến ngẫu nhiên liên tục trong khi PMF được xác định cho các biến ngẫu nhiên rời rạc.
Hàm mật độ xác suất được định nghĩa dưới dạng tích phân của mật độ biến thiên trên một phạm vi nhất định. Nó được ký hiệu là f (x). Hàm này dương hoặc không âm tại bất kỳ điểm nào của đồ thị và tích phân của PDF trên toàn bộ không gian luôn bằng một.
Công thức hàm mật độ xác suất
Trong trường hợp một biến ngẫu nhiên liên tục, xác suất lấy của X trên một giá trị x nào đó luôn là 0. Trong trường hợp này, nếu chúng ta tìm thấy P (X = x), nó không hoạt động. Thay vì điều này, chúng ta yêu cầu tính xác suất X nằm trong khoảng (a, b). Bây giờ, chúng ta phải tính nó cho P (a <X <b). Điều này có thể được thực hiện bằng cách sử dụng một tệp PDF. Công thức hàm phân phối xác suất được định nghĩa là,
P( a < X< b ) =∫baf( x )
Tính chất hàm mật độ xác suất
Gọi x là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ f (x), hàm phân phối xác suất cần thỏa mãn các điều kiện sau:
- Đối với một biến ngẫu nhiên liên tục nhận một số giá trị giữa các giới hạn nhất định, chẳng hạn a và b, và được tính bằng cách tìm diện tích dưới đường cong của nó và trục X, trong giới hạn dưới (a) và giới hạn trên (b), thì pdf được cung cấp bởi P( x ) =∫baf( x ) dx
- Hàm mật độ xác suất không âm với tất cả các giá trị có thể có, tức là f (x) ≥ 0 , với mọi x
- Diện tích giữa đường cong mật độ và trục X nằm ngang bằng 1, tức là ∫∞- ∞f( x ) dx = 1
- Do thuộc tính của biến ngẫu nhiên liên tục, đường cong hàm mật độ là liên tục trong tất cả các phạm vi đã cho, nó tự xác định trên một phạm vi giá trị liên tục hoặc miền của biến.
Các ứng dụng của hàm mật độ xác suất
Sau đây là các ứng dụng của hàm mật độ xác suất:
- Hàm mật độ xác suất được sử dụng để lập mô hình dữ liệu hàng năm về nồng độ thời gian NOx trong khí quyển
- Nó được sử dụng để mô hình quá trình đốt cháy động cơ diesel
- Trong Thống kê, nó được sử dụng để tính toán xác suất liên quan đến các biến ngẫu nhiên.
Ví dụ về hàm mật độ xác suất
Câu hỏi: Bản pdf của một bản phân phối được cung cấp dưới dạngf( x ) =⎧⎩⎨⎪⎪x ; fo r 0 < x < 1 2 – x ; fo r 1 < x < 2 0 ;fo r x > 2 .
Tính mật độ trong khoảng (0,5 <x <1,5)
Lời giải: P (0,5 <x <1,5) =∫1,50,5f( x )dx
=∫10,5f( x )dx +∫1,51f( x )dx
=∫10,5x dx +∫1,51( 2 – x ) dx
=(x22)10,5+( ( 2 x -x22) )1,51
= 3/4
Xem thêm :
Toàn bộ công thức Toán lớp 12
Khái niệm và các loại phản ứng xà phòng hóa
5 mẫu Mở bài Chí Phèo hay nhất
5 mẫu Phân tích Chiếc thuyền ngoài xa
