Trong toán học, và cụ thể hơn là lý thuyết tập hợp, tập hợp rỗng (hay còn gọi là tập rỗng) là tập hợp duy nhất không chứa phần tử nào. Trong lý thuyết tập hợp tiên đề (axiomatic set theory), tiên đề về tập rỗng thừa nhận sự tồn tại của tập rỗng, và mọi tập hữu hạn đều được xây dựng từ tập rỗng.
Contents
Phần tử rỗng là gì?
Trong toán học, phần tử rỗng là một trong các tổng quát hóa của số không đến các cấu trúc đại số khác. Tùy thuộc vào ngữ cảnh mà ý nghĩa phần tử không trong các cấu trúc đại số khác thay đổi.
Ký hiệu tập hợp rỗng
Ký hiệu chuẩn cho tập rỗng là
∅
{displaystyle varnothing }
Để so sánh, ta đặt ba ký hiệu cạnh nhau: ∅ Øø Φ – ký hiệu tập rỗng (ký hiệu đầu tiên) được dựa trên một đường tròn hình học, trong khi chữ cái Scandinavia giống như một chữ hình ôval ‘O’.
Tập rỗng “∅” có mã unicode U+2205. Mã soạn thảo bằng TeX là emptyset và varnothing, cho ra các hình tương ứng là:
∅ , ∅
{displaystyle emptyset ,varnothing }
Tập rỗng có tập con không?
Theo định nghĩa trên, tập rỗng (ký hiệu ∅) và chính tập B là tập con của nó. Như vậy mọi tập hợp khác rỗng có ít nhất hai tập con là rỗng và chính nó. Tập rỗng chỉ có một tập con là rỗng. Tập rỗng là tập con của mọi tập hợp.
Tính chất
(Ở đây ta sử dụng các ký hiệu toán học)
- Với bất kỳ tập A, tập rỗng là tập con của A.
∀ A : ∅ ⊂ A
{displaystyle forall A:emptyset subset A}
- Với bất kỳ tập A, hợp của A với tập rỗng là A:
∀ A : A ∪ ∅ = A
{displaystyle forall A:Acup emptyset =A}
- Với bất kỳ tập A, giao của tập A với tập rỗng là tập rỗng:
∀ A : A ∩ ∅ = ∅
{displaystyle forall A:Acap emptyset =emptyset }
- Với bất kỳ tập A, tích Descartes của A với tập rỗng là tập rỗng:
∀ A : A × ∅ = ∅
{displaystyle forall A:Atimes emptyset =emptyset }
- Chỉ có một tập con duy nhất của tập rỗng là chính tập rỗng:
∀ A : A ⊆ ∅ ⇒ A = ∅
{displaystyle forall A:Asubseteq emptyset Rightarrow A=emptyset }
- Số phần tử của tập rỗng (tức là lực lượng) là không (0); nói riêng, tập rỗng là tập hợp hữu hạn:
|
∅
|
=
{displaystyle |emptyset |=0}
- Với bất kì tính chất nào:
- Luôn đúng với mọi phần tử thuộc tập rỗng (sự thật hiển nhiên)
- Luôn sai với mọi phần tử thuộc tập rỗng
- Ngược lại, nếu với một tính chất nào đó mà hai mệnh đề sau đúng:
- Tính chất đúng với mọi phần tử thuộc V
- Tính chất không đúng với mọi phần tử thuộc V
thì
V = ∅
{displaystyle V=emptyset }
Chú thích
Xem thêm
- Các phép toán tập hợp
- Tập hợp tô pô
- Tập hợp metric
- Tập hợp rời rạc
- Tập hợp liên thông
- Tập hợp trù mật
Liên kết ngoài
- Weisstein, Eric W., “Empty Set” từ MathWorld.
- Tập hợp rỗng tại Từ điển bách khoa Việt Nam
